Das Braess Paradoxon - eine Spieltheorie

Mitt­ler­weile beginnt das Leben – trotz Corona – wieder gewohnte Wege einzu­schla­gen. So stand ich neulich abends in der Bremer Über­see­stadt im Stau und stellte mir aus purer Lange­weile einige Fragen: Warum ist das hier immer so, das kann doch nicht nur an der Brücke liegen? Wieso staut sich der Verkehr von einer Ampel zur nächs­ten? Gibt es einfach zu viele Kreu­zun­gen? Und ginge das viel­leicht schnel­ler, wenn da weni­ger wären? 

Tatsäch­lich gibt es mit dem „Braess Paradoxon“ ein Gedankenspiel aus der Spieltheorie, das – vereinfacht gesagt – zeigt, dass mehr Straßen manchmal zu längeren Reisezeiten führen können. Und das liegt daran, dass alle Verkehrsteilnehmenden immer die Option wählen, die für sie selbst am vorteilhaftesten ist – und nicht die, die für alle am besten wäre. 

Möch­ten Sie eine der Grund­la­gen der Spiel­the­o­rie am Beispiel „Fei­er­abend­ver­kehr“ kennen­ler­nen?

Stel­len Sie sich vor, es gäbe zwei Städte, Stadt A und Stadt D. Genau mittig zwischen den beiden Städ­ten gäbe es ein sehr schwer zu über­win­den­des Hinder­nis, zum Beispiel einen Berg. Auf beiden Seiten des Hinder­nis­ses lägen direkt dane­ben die beiden Orte B und C. 

Von der Stadt A kann man nun über zwei mögli­che Routen zur Stadt D gelan­gen. 

Bei den beiden Auto­bah­nen dauert die durch­schnitt­li­che Reise­zeit immer 45 Minu­ten und ist nicht von der Anzahl der darauf fahren­den Autos abhän­gig, da das Hinder­nis groß­räu­mig umfah­ren wird. 

Bei den beiden Land­s­tra­ßen ist die Reise­zeit abhän­gig von der Anzahl der darauf fahren­den Autos: Die Stra­ßen sind schmal und schlän­geln sich mit vielen Kurven durch die Land­schaft. Im Durch­schnitt errech­net sich die benö­tigte Zeit aus der Anzahl der Autos geteilt durch 100. 

Egal ob nörd­li­che oder südli­che Route: Man braucht für die gesamte Reise (x/100+45) Minu­ten - also zum Beispiel 50 Minu­ten bei 500 Auto­fah­rern oder 65 Minu­ten bei 2000 Fahrern.

Stel­len Sie sich vor, dass zur abend­li­chen Rush­hour 4000 Autos von Stadt A zurück nach Stadt D wollen. Ein Teil der Fahrer wird die nördliche und der andere die südliche Route wählen. Da die Situation auf den Landstraßen die Reisedauer bestimmt, werden entweder die Fahrtzeiten identisch sein, weil jeweils ähnlich viele Fahrzeuge unterwegs sind, oder eine Route ist schneller, da dort weniger fahren. Das spricht sich dann aber mit Sicherheit herum, und am nächsten Tag wechseln einige Fahrer auf die vermeintlich schnellere Route.

Dieses System wird über eine gewisse Zeit hin- und herschwin­gen, bis die Anzahl der Fahr­zeuge auf beiden Stre­cken mehr oder weni­ger iden­tisch ist. Dieses Gleich­ge­wicht ist in diesem System die best­mög­li­che Vari­a­nte für alle Teil­neh­mer. In der Spiel­the­o­rie nennt man es das "Nash-Gleich­ge­wicht". 

In unse­rem Beispiel fahren also jeweils 2000 Fahr­zeuge über die nörd­li­che und ebenso viele über die südli­che Route. Alle brau­chen im Durch­schnitt 65 Minuten, also (200 / 100 + 45) Minuten = (20 + 45) Minuten = 65 Minuten.

Um die Zeit zu verkür­zen, wird eine direkte Straße durch das Hinder­nis hindurch gebaut. Mal ange­nom­men es kostet keine Zeit, über diese neue Straße X zu fahren, dann haben alle Fahr­zeuge, die von A nach D wollen, auf einen Schlag zwei weitere Routen zur Verfü­gung: 

• Über die Auto­bah­nen A1-X-A2 wird sicher­lich niemand fahren, da die Route in jedem Fall 25 Minuten länger dauert als die bisherige nördliche oder südliche Route. 
• Alle Fahrer könn­ten wie gehabt in 65 Minu­ten über die „alte“ nörd­li­che oder südli­che Route fahren. Aber das wird eher nicht passie­ren, denn…
• Sehr viel wahr­schein­li­cher wird wenigs­tens ein Fahrer etwa der nörd­li­chen Route begrei­fen, dass er nun statt über die A1 auch über die L2 und dann wie gehabt die L1 fahren kann und damit nur ca. 40 Minuten braucht (2000/100 min + 2001/100 min = ca. 40 min). 

Und hier liegt das „Braess-Para­do­xon“: Bevor die neue Straße zwischen B und C gebaut wurde, lag die durch­schnitt­li­che Reise­zeit bei 65 Minu­ten. Nach dem Bau der neuen Straße bei 80 Minu­ten. In diesem Beispiel wären alle Verkehrs­teil­neh­mer ohne die neue Straße X schnel­ler am Ziel.

Menschen wählen eher die Option, die für sie selbst am güns­tigs­ten ist – in diesem Fall eine Erspar­nis von weni­gen Minu­ten – als sich zum Besten Aller zu verhal­ten.

Dieses Gedan­ken­spiel erklärt aber nicht nur die Theo­rie, sondern auch, warum in der Praxis manch­mal nach der Schlie­ßung von großen Verkehrs­adern das befürch­tete Chaos ausblieb:

Mit genü­gend Compu­ter­leis­tung könn­ten wir voraus­be­rech­nen, wie Auto­fah­rer ihr Verhal­ten ändern würden, wenn wir aus einem komple­xen Stra­ßen­netz eine einzelne Straße entfer­nen. Die Kunst besteht aber darin heraus­fin­den, welche Straße – in meinem Fall in der Bremer Über­see­stadt – über­haupt zu entfer­nen wäre, damit ich und viele andere nicht weiter im Stau stehen müssen.

Das aller­dings würde uns schnell an physi­sche Gren­zen brin­gen: Wir haben hier­für zur Berech­nung keinen wirk­lich effi­zi­en­ten Algo­rith­mus und müssen alles simu­lie­ren. Wenn wir alle Kombi­na­ti­o­nen mögli­cher Stra­ßen­sper­run­gen in einer Stadt einfach durch­pro­bie­ren woll­ten, dann wären das bei einem Stra­ßen­netz von „nur“ 80 Stra­ßen theo­re­tisch schon mehr zu prüfende Kombi­na­ti­o­nen (2 hoch 80) als es Sterne im Univer­sum gibt (10 hoch 22). Mit heuti­gen Rech­ner­ka­pa­zi­tä­ten ist das inner­halb eines Menschen­le­bens nicht mach­bar. Bei der Geschwin­dig­keit, mit der Rech­ner­leis­tun­gen im Moment wach­sen, ist das viel­leicht aber nur eine Frage der Zeit.

Bevor ich also das nächste Mal am Feier­abend im Stau stehe, über­lege ich mir also am besten mit gesun­dem Menschen­ver­stand eine Alter­na­tive. Viel­leicht fahre ich doch lieber mit dem Rad…